地盤基礎工学（3年前期）のメモ: 第１講運動学（その１）：変位と変形の記述

§２．運動学

２．０これだけは知っておきたい

変形勾配：ある物質点近傍の変形の様子
ひずみ：変形のメジャー
有限ひずみ：厳密な変形のメジャー、非線形なので計算が面倒
微小ひずみ：線形化近似、適用限界あり（大きな変形、剛体回転によって誤差）

以下、Lagrange（ラグランジュ）表示について学ぶ。これは時間に伴う物質点（Material point）の運動を追跡して記述する方法。簡単のため、３次元直交直線座標系（カルテシアン座標）を用いることにする。

２．１位置ベクトルと運動

$x_i = x_i (X_P,t)$
この式は、時刻t=0で位置ベクトルX_pの物質点が、時刻tに位置x_iを占めることを意味している。ここに下添字i, P は1,2,3（３次元なので）である。時刻によって物質点の位置ベクトルが変化することを運動という。

２．２変位、速度、加速度

ある物質点について、時刻t=0における位置ベクトルと時刻tの位置ベクトルの差を変位u_iという。
$u_i = x_i - X_i$

ある物質点の速度v_iは変位の時間変化率として定義される。
$v_i = \dot{u}_i = \dot{x}_i$
ここでX_i（初期の物質点の位置ベクトル）は時間によらないため、X_i の時間変化率はゼロであることに注意せよ。

また、加速度a_i は速度の時間変化率である。
$a_i = \dot{v}_i = \ddot{x}_i$

２．３変形

変位と変形の違い。変位は物質点に運動に関する情報で分かるが、変形は物質点とその近傍の運動に関する情報を必要とする。

時刻 t = 0 において、物質点A（位置ベクトル X_p）とその近傍の点B（位置ベクトル X_p + dX_p ）を考える。時刻 t における物質点A, Bの位置ベクトルは、テーラー展開を用いると以下のように表せる。
$\begin{align*} &x_i = x_i (X_p),\\ &x_i + dx_i = x_i(X_p) + \frac{\partial x_i}{\partial X_p} dX_p \end{align*}$
この式に現れる行列（あるいは２階のテンソル）を変形勾配テンソルといい、通常はF_{iP}で表す。
$F_{iP}= \frac{\partial x_i}{\partial X_p}$

以下、いくつかの例題を示す。各例題について、どのような変形が生じているか、簡単な絵を描いてみるとよい。

例題１　並進運動に対して変形勾配テンソルを計算してみよ

（解答例）　並進運動を具体的に示す。
$x_i = X_i +c_i$
変形勾配の定義に従って変形勾配テンソルを計算する
$F_{iP} = \begin{bmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial X_1} & \frac{\partial x_1}{\partial X_2} & \frac{\partial x_1}{\partial X_3} \\ \frac{\partial x_2}{\partial X_1} & \frac{\partial x_2}{\partial X_2} & \frac{\partial x_2}{\partial X_3} \\ \frac{\partial x_3}{\partial X_1} & \frac{\partial x_3}{\partial X_2} & \frac{\partial x_3}{\partial X_3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
単位行列になる。

例題２　x_3軸の周りにαだけ剛体回転するとき、変形勾配テンソルを計算してみよ

（解答例）　まず剛体回転運動を具体的に式示する。
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha& 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$
（回転角度の正負については、x_3軸の正の方向に対して右ねじを正とする）

したがって、定義より変形勾配テンソルは
$\bm{F} = \begin{bmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha& 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

例題３　各軸についてストレッチ（引き伸ばす）した変形を考えてみよう。この変形に対する変形勾配テンソルを計算してみよ

（解答例）このような変形は、以下のように書ける。
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & 1+\lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1+\lambda_3 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$

したがって、定義より変形勾配テンソルは以下のように計算できる。
$\bm{F}= \begin{bmatrix} 1+\lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & 1+\lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 1+\lambda_3 \end{bmatrix}$
ここでλは各軸に対して伸びの割合を表している。ゼロであれば伸び縮みせず、正であれば伸び、負であれば縮む。いくら縮んでも物体が無くなることはないので-1よりは大きな値となる。

例題４　単純せん断 (simple shear) 変形をうける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

（解答例）単純せん断とはマッチ箱が歪むような変形なので、例えば以下のように書ける
$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}= \begin{bmatrix} 1& \alpha & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}X_1 \\ X_2\\ X_3 \end{pmatrix}$
したがって、定義より変形勾配テンソルは以下のように計算できる。
$\bm{F}= \begin{bmatrix} 1& \alpha & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

例題５　純せん断 (pure shear) 変形を受ける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

（解答例）純せん断とは共役なせん断力を受けるときの変形で、例えば以下のように書ける。
$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 0\\ \alpha & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$
したがって、変形勾配テンソルは
$\bm{F}= \begin{bmatrix} 1 & \alpha & 0\\ \alpha & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

例題６　例題５で示した純せん断を、２つの異なる座標系で見てみよう。ダッシュのついている座標系 (X'_1など) は、ついていない座標系（X_1など）を、X_3軸周りに４５度回転した座標系とする。

例題５で示した運動をダッシュのついている座標系で見れば、どのように見えるか考えてみよ。
（解答例）２つの座標系には以下の関係が成り立つ。
$\begin{pmatrix} X_1^\prime \\ X_2^\prime \\ X_3^\prime \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ X_3 \end{pmatrix}$
x'_1, x_1 などについても同様に成り立つ。
この逆関係は以下のように表せる。
$\begin{pmatrix} X_1\\ X_2\\ X_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0\\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1^\prime\\ X_2^\prime\\ X_3^\prime \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0\\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_1^\prime\\ x_2^\prime\\ x_3^\prime \end{pmatrix}$
これを例題５の「変形を表す式」に代入し、ダッシュのついた量の関係で表してみる。すると最終的に以下の関係を得る。
$\begin{align*} \begin{pmatrix} x_1^\prime\\ x_2^\prime\\ x_3^\prime \end{pmatrix} &= \begin{bmatrix} (1+\alpha)/\sqrt{2} & (1+\alpha)/\sqrt{2} & 0\\ (-1+\alpha)/\sqrt{2} & (1-\alpha)/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0\\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1^\prime \\ X_2^\prime \\ X_3^\prime \end{pmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1+\alpha& 0 & 0\\ 0 & 1-\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} X_1^\prime \\ X_2^\prime \\ X_3^\prime \end{pmatrix} \end{align*}$
これは、ダッシュのついた座標系で見れば、同じ大きさの変形を、X'_1軸方向には引っ張り、X'_2軸方向には圧縮で与えたことを意味している。（絵に描いて確かめてみよ。）　このことから分かるように、純せん断変形と２軸の伸び・縮み変形は全く同一の変形である。ただし座標系のとりかたが異なるので、見える成分の値は異なって見える。同様の事実は応力についても言える。

地盤基礎工学（3年前期）のメモ

Venezia, Italy

2014年5月15日木曜日

第１講運動学（その１）：変位と変形の記述

§２．運動学

２．０これだけは知っておきたい

２．１位置ベクトルと運動

２．２変位、速度、加速度

２．３変形

例題１　並進運動に対して変形勾配テンソルを計算してみよ

例題２　x_3軸の周りにαだけ剛体回転するとき、変形勾配テンソルを計算してみよ

例題３　各軸についてストレッチ（引き伸ばす）した変形を考えてみよう。この変形に対する変形勾配テンソルを計算してみよ

例題４　単純せん断 (simple shear) 変形をうける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題５　純せん断 (pure shear) 変形を受ける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題６　例題５で示した純せん断を、２つの異なる座標系で見てみよう。ダッシュのついている座標系 (X'_1など) は、ついていない座標系（X_1など）を、X_3軸周りに４５度回転した座標系とする。

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2014年5月15日木曜日

第１講 運動学（その１）：変位と変形の記述

§２．運動学

２．０ これだけは知っておきたい

２．１ 位置ベクトルと運動

２．２ 変位、速度、加速度

２．３ 変形

例題１ 並進運動に対して変形勾配テンソルを計算してみよ

例題２ x_3軸の周りにαだけ剛体回転するとき、変形勾配テンソルを計算してみよ

例題３ 各軸についてストレッチ（引き伸ばす）した変形を考えてみよう。この変形に対する変形勾配テンソルを計算してみよ

例題４ 単純せん断 (simple shear) 変形をうける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題５ 純せん断 (pure shear) 変形を受ける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題６ 例題５で示した純せん断を、２つの異なる座標系で見てみよう。ダッシュのついている座標系 (X'_1など) は、ついていない座標系（X_1など）を、X_3軸周りに４５度回転した座標系とする。

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第１講運動学（その１）：変位と変形の記述

２．０これだけは知っておきたい

２．１位置ベクトルと運動

２．２変位、速度、加速度

２．３変形

例題１　並進運動に対して変形勾配テンソルを計算してみよ

例題２　x_3軸の周りにαだけ剛体回転するとき、変形勾配テンソルを計算してみよ

例題３　各軸についてストレッチ（引き伸ばす）した変形を考えてみよう。この変形に対する変形勾配テンソルを計算してみよ

例題４　単純せん断 (simple shear) 変形をうける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題５　純せん断 (pure shear) 変形を受ける物体の変形勾配テンソルを計算せよ

例題６　例題５で示した純せん断を、２つの異なる座標系で見てみよう。ダッシュのついている座標系 (X'_1など) は、ついていない座標系（X_1など）を、X_3軸周りに４５度回転した座標系とする。